Gateaux differientiable
Różniczka Gateau
Granica ułamka. Uogólnienie pochodnej na funkcje pomiędzy przestrzeniami lokalnie wypukłymi.
Real Refelxive Banach Space Banach space - Complete normed space.
Banach space that is on real field.
Refelxive - locally convex topological vector space.
Przestrzeń unormowana, która jest zupełna.
Kartesjan Product
xxxxxxxxx Z każdego zbioru (A,B) bieżesz pary liczb (A0,B0),(A1,B1)
Lower Semicontinuous
Półciągła z dołu
Wyjasnienie Oznaczenie dla funkcji, która spełnia pewien warunek.
Lipshitz cointinuous
Ciągłość Lipshitzowska
Is Lipshits if satisfies certain inequality with L being a constant. xxxxxxxxx
Scalar Product
Iloczyn Skalarny
xxxxxxxxx xxxxxxxxx
Convex set
Convex function
Two random points can be connected with line that stays in such space.
Convex function is a function whose ephigraph is convex.
Ephigraph - set of points on or above a graph of function.
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx

2.0 V is real reflexive Banach space.
K is nonempty closed convex subset of V
J0 is convex functional Gateaux differientiable
J1 is proper lower semicontinuous convex functional.
V to refleksywna przestrzeń Banacha
K to jej niepusty, domknięty podzbiór.
J0 to wypukły funkcjonał dla którego istnieje różniczka Gateaux.
J1 to funkcjonał wypukły, półciągły z dołu.
2.1 Equality that the limit of function J on reflexive Banach Space and with real values converges to infinity with length(norm) of its argument converges to infinity as well. The argument is from Convex Set. Granica funkcji J, która jest określona na refleksywnej przestrzeni Banacha, o wartościach rzeczwystych. Ta granica wynosi +nieskończoność kiedy norma z argumentu też zbiega do nieskończoności. Argumenty są ze zbioru wypukłego.
2.2 Inequality which says that "u" is a minimum of J on a Convex Set K. Nierówność, która mówi, że "u" stanowi minimum funkcji J na zbiorze wypukłym K.
2.3 This is a condition which J must satisfy where J=J0+J1. Here u is minimum of functional J. To jest warunek jaki musi spełniać J oraz u, które to u minimalizuje J.
Definition 2.1 Definition of monotonic operator A. Operator is function between two vector spaces(V,V*). Definicja monotoniczności operatora A.
2.4 Characterization of convex functionals which are Gateaux Differentiable. Opis na wypukłe funkcjonały, rózniczkowalne w sensie Gateaux

3.01 Notation for established vector from R^N Oznaczenie ustalonego wektora w przestrzeni R^N
3.02 Definition of scalar product and norm based on this product. Definicja iloczynu skalarnego i normy powstałej na podstawie tego iloczynu.
3.1 Definition of set of vectors from R^N, which each element belongs to some closed interval. Ki is an closed interval between ai and bi. Definicja zbioru wektorów z R^N(n-ka liczb rzeczywistych) takich, że każda z tych liczb należy do pewnego przedziału domkniętego.
3.2 Definition of J on R^N. Generalization of definition of J, from the domain in R to domain in R^N. Definicja J dla wartości R^N. Generalizacja definicji J dla dziedziny R do R^N.
3.3 Same as 2.1, but for finite dimensional space V. Takie same jak 2.1, dla przestrzeni skończenie wymiarowej V.
3.4 Same as 2.2, but for finite dimensional space V. Takie same jak 2.2, dla przestrzeni skończenie wymiarowej V.
3.5 Same as 2.3, but for finite dimensional space V. Takie same jak 2.3, dla przestrzeni skończenie wymiarowej V.
3.6 The notation for arbitrary element from K. Jakiś element z K.
3.7 Same as 2.2, but for finite dimensional space V. Takie same jak 2.2, dla przestrzeni skończenie wymiarowej V.
3.8 Condition for partial derivative of J that satisfy 3.7. Warunek jaki cząstkowa pochodna J musi spełniać w 3.7.
3.9 Inequality that the iteration of the minimal element 3.4 must satisfy. Nierównośc, którą iteracja zbliżająca nas do optymalnego rozwiązania 3.4 musi spełniać (Iteracja ma spełniać nierówność).
3.10 Equality satisfied by the projection on Ki (Ki in 3.1). Równość, spełniana przez rzutowanie na Ki (Ki w 3.1)
3.11 The condition, which the iteration of the minimal solution must satisfy. Warunek, które iteracja minimum tego funkcjonału J musi spełniać.
Lemma 3.1
Lemat 3.1
F is function that is continuois, differentiable and strictly convex on R^N, then it satisfies that is uniformly convex on bounded subset of R^N and holds 3.12,3.13,3.14. Jeżeli F jest funkcją ciągłą, różniczkowalną, silnie wypukłą na R^N, to jest ona jednostajnie wypukła na ograniczonych zbiorach R^N i spełnia warunki 3.12,3.13,3.14.
3.12 Assumption that the function delta must satisfy. Delta is a function from [0,2M], M is constant, which hold on the basis of lemma 3.1. Założenie, które funkcja delta musi spełnić. Delta to funkcja o argumentach od [0,2M], M to liczba dodatnia. Na podstawie lematu 3.1.
3.13 Inequalities for norm of u and v, which hold on the basis of lemma 3.1. Nierówności dla normy z u i normy z v. Na podstawie lematu 3.1.
3.14 Inequality which u,v and F must satisfy if Lemma 3.1 is true. Nierównośc którą u,v i F muszą spełniać, gdy Lemat 3.1 jest prawdziwy.
3.15 Definition delta0M as infimum of this scalar product. Definicja delta0M dla infimum z tego produktu skalarnego.
3.16 delta0M for 0 equals 0. delta0M dla 0 równa się 0.
3.17 Inequality which follows from 3.15. Nierównośc wywnioskowana z 3.15.
3.17a Equality which says, that delta0M in the point tau2 is equal to this... Równość, która mówi, że wartość delta0M w punkcie tau2 jest równa ....
3.17b delta0M in tau2 is greater than 0. delta0M w punkcie tau2 jest większa od 0.
3.17c Definition of w, which is .... Definicja W
3.17d Inequality which follows from monotonicity of the derivative of F. Nierównośc, którą wnioskujemy z monotoniczności różniczki F.
3.18 Inequality, which follows from 3.17c. Nierównośc, która wynikia z 3.17c.
3.18a Inequality between delta0M in points tau2 and tau1. Nierównośc delta0M dla punktów tau2 i tau1.
3.19 Inequality, which follows from substituting 3.17a into {u+t(v-u),u} Nierówność, która wynikia z podstawienia 3.17a do {u+t(v-u),u}
3.20 Limit of (1/tau)*delta0M(tau) is equal to 0. Granica (1/tau)*delta0M(tau) jest równa 0.
3.21-3.24 Sequence of inequalities which follows one from another. Sekwencja nierówności, które po sobie wynikają.
3.25 The first part of the proof of theorem 3.1. In this equality we proof sequence J(u^n) is decreasing. Pierwsza część dowodu 3.1. W tej nierówności wykazujemy, że ciąg J(u^n) jest malejący.
3.26 Equality which follows from 2.4, 3.8. J(u^n) - J(u^n+1) >= 0. Ciąg jest malejący.
3.27 3.26 and 3.27 are the same J(u^n) >= J(u^n+1)
3.28 u is bounded by M norma z u jest mniejsza bądź równa stałej M
3.29 Difference of J's is bounded from below by sum. Róznica j jest ograniczona od dołu danym wyrażeniem
3.30 Limit of difference is 0, when n goes to infinity. yyyyyyyy
3.31 Limit of difference of u also goes to 0. u - ciąg w przestrzeni wypukłej.
3.32 This functional is bounded by other functional. yyyyyyyy
3.33 Functional from previous point is bounded by this. yyyyyyyy
3.34 This is the implication from previous formula. Sum of partial derivatives. Suma pochodnych cząstkowych.
3.35 The functional with partial derivative is negative. yyyyyyyy
3.36 Substitution from 3.34 and 3.35 Podstawienie
3.37 Limit of u's. u_ is defined abowe 3.35 yyyyyyyy
3.38 Limit of norm of the difference between partial derivatives in u and u_ yyyyyyyy
3.39 K = R^N
J=J0
J0(v)=1/2(Av,v)-(b,v)
A is NxN symmetrical positive definite matrix
Solution from 3.4: Au=b
yyyyyyyy
3.40 u0 belongs to R^N należy do
3.41 Iterative formula for solving matrix equasion 3.39, known as Gauss-Seidel method. yyyyyyyy
3.42 Definition od set D. D(F), v belongs to V such as F(v) is smaller than infinity. D(F) to zbiór takich v, należących do V, dla których F(v) jest mniejsze niż nieskończoność. V(główne V)
3.43 J(u) is minimum of J(v) yyyyyyyy
3.44.1 Assumption that u0 belongs to K yyyyyyyy
3.44.2 Set of such u's belongs to K yyyyyyyy
3.45 (3.43)J(u) is minimum of J(v) yyyyyyyy
3.46 Aproximation of integral is bounded from below by this expresion. yyyyyyyy
3.47 Formulation of minimalization problem. yyyyyyyy
3.48 v_ is set of v from 0 to N yyyyyyyy
3.49 definition of Jh(v_h) yyyyyyyy
3.50 Definition of K_h. Set of V_h such as V_h belongs to R^N+1, v0 and vN=0, difference of two consecutive elements divided by h is less and equal to 1. h is parameter. yyyyyyyy

4.1 V is banach space. Now is equal to R^N.
V is equal to cartesian product of Vi.
yyyyyyyy
4.2 Ni - n position iTa pozycja w ence
4.3 Statement yyyyyyyy
4.4 Assumption that J converges to infinity yyyyyyyy
4.5 J0 belongs to C1(V). C1 are functions of class C1. Class C1 are functions that are differentiable and their derivative is continuous on V. C1 - rodzina funkcji, które są różniczkowalne a ich pochodna jest ciągła na zbiorze V.
4.6 Definition of J1(v) as a sum of ji(vi). ji are convex, proper and lower semicontinuous on V. ji to funkcja, która jest wypukła, o niepustej dziedzinie, półciągła z dołu na V.
4.7 J(u) <= J(v), u is optimal for j, u minimises j yyyyyyyy
4.8 Condition which J must satisfy aby było minimum. yyyyyyyy
4.9 u0 belongs to K yyyyyyyy
4.10 xxxxxxxx yyyyyyyy
4.11 J0 is class C1 and its derivatie is Lipshitz cointinuous. yyyyyyyy
4.12 Inequality which derivate of J0 is uniformly convex. Z tej nierówności wnioskujemy, że pochodna od J0 jest jednostajnie wypukła.

5.1 Definition of scalar product Iloczyn skalarny
5.2 Definition of Eucledean norm Norma Euklidesowa
5.2a Cartesian product of closed and convex sets Ki yyyyyyyy
5.3 Definition of J(v). Bilinear form. Forma - typ funkcji zachowujący pewne własności.
5.4 Optimization problem yyyyyyyy
5.5 Optimization condition yyyyyyyy
5.6 Definition of J(v) more preciesly. Rozpisanie definicji
5.7 Statement of Riesz theorem. yyyyyyyy
5.8 A* is dual to A Odzworowanie dualne - reprezentowane przez macierz dualną do A.
5.9 Definition of norm from vi. yyyyyyyy
H - Real Hilbert space
b(.,.) bilinear form on H, continuous, symmetric and H-elliptic.
5.10 Equality of B and dual to B yyyyyyyy
5.11 Scalar product in H space yyyyyyyy
5.12 Norm in H space yyyyyyyy
5.13 Definition of functional j(v) yyyyyyyy
5.14 Minimalization condition yyyyyyyy
5.15 Definition of u. B is isomporhism(above 5.10). Pi is projector from H->C.g is element of H. yyyyyyyy
5.16 Condition for u. yyyyyyyy
5.17 conclusion from 5.16 yyyyyyyy
5.18 Definition of u1 yyyyyyyy
5.19 Differencje between j in points u0 and u1 yyyyyyyy
5.20 Expansion of difference 5.19 yyyyyyyy
5.21 Expansion of the term from 5.20 yyyyyyyy
5.22 Aproximation of 5.21 yyyyyyyy
5.23 Definition of u0. u0 is set of certain u^0 yyyyyyyy
5.24 Iteration formula for ui^n+1 yyyyyyyy
5.25 Boundary of the difference of J yyyyyyyy
5.26 Expansion of the 5.25 yyyyyyyy
5.27 Limit of difference u^n and u^n+1 yyyyyyyy
5.28 Limit of J's in points above yyyyyyyy
5.29 Conclusion from elipticity of a(a is from 5.4,5.5) yyyyyyyy
5.30 Conclusion from 5.29 yyyyyyyy
5.31 Conclusion from 5.30 yyyyyyyy
5.32 Conclusion from 5.31 yyyyyyyy
5.33 Conclusion from lemma 5.1 yyyyyyyy
5.34 Characterization of minimum of J yyyyyyyy
5.35 Equality which follows from 5.32 yyyyyyyy
5.36 Equality which follows from 5.35 yyyyyyyy
5.37 Definition of ui^n+1 yyyyyyyy
5.38 Inequality that shows the diffrence betwenn ui_^n+1 and ui^n+1 yyyyyyyy
5.39 Conclusion from 5.38 yyyyyyyy
5.40 Triangle inequality Norma z różnicy jest równa różnicy norm
5.41 Elastic-plastic torsion problem
Problem to find u that satisfies inequality
yyyyyyyy
5.42 Description of the solution 5.41 yyyyyyyy
5.43 Aproximation of 5.42 yyyyyyyy
5.44 Minimalization inequality yyyyyyyy
5.45 definition of uh0 yyyyyyyy
5.46 Definition of uij yyyyyyyy
5.47 definition of uij^n+1 yyyyyyyy
5.48 Stopping criterion for numerical algorithm Kryterium stopu dla aglorytmu obliczającego.

6.1 System of nonlinear equations. Równania nieliniowe
6.2 we choose certian u0 yyyyyyyy
6.3 Iteration of Ui yyyyyyyy
6.4 Minimalization problem yyyyyyyy
6.5 Another u0 yyyyyyyy
6.6 Condition for computing u^n+1 yyyyyyyy
6.7 choice of x0 yyyyyyyy
6.8 iterative formula for newton method yyyyyyyy
6.9 choice of u0 yyyyyyyy
6.10 iterative formula for ui^n+1 yyyyyyyy